Question

（2004•黄冈模拟）已知

i

，

j

分别是x轴，y轴方向上的单位向量，

OA1

=

j

，

OA2

=10

j

，且

An-1An

=3

AnAn+1

(n=2，3，4，…)，在射线y=x（x≥0）上从下到上依次有点Bi=（i=1，2，3，…），

OB1

=3

i

+3

j

且|

Bn-1Bn

|=2

2

（n=2，3，4…）．
（Ⅰ）求

A4A5

；
（Ⅱ）求

OAn

，

OBn

；
（III）求四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|是一个等比关系，故根据等比数列公式求其通项，从而求得结果；
（2）由题意（1）中数列的前n项和即为A_n的纵坐标，再由在射线y=x（x≥0）上依次有点B₁，B₂，…，B_n，…即可得出B_n的坐标；
（3）根据四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的几何特征，把四边形的面积分成两个三角形的面积来求，求出面积的表达式，再作差S_n-S_n-1，确定其单调性，然后求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

An-1An

=3

AnAn+1

⇒

AnAn+1

=

1

3

An-1An

，
∴

A4A5

=

1

3

A3A4

=(

1

3

)2

A2A3

=(

1

3

)3

A1A2

=

1

27

(

OA2

-

OA1

)=

1

3

J

．(3分)
（II）由（1）知

AnAn+1

=

1

3n-1

A1A2

=

1

3n-3

j

，

OAn = OA1 + A1A2 +… An-1An = j + A1A2 +…+ An-1An

=

j

+9

j

+3

j

+…+

1

3n-3

j

=

j

+

9[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

j

=

29-( 1 3 )n-4

2

j

．(6分)
∵|

Bn-1Bn

|=2

2

且Bn-1，Bn均在射线y=x（x≥0）上，
∴

Bn-1Bn

=2

i

+2

j

．∴

OBn

=

OB1

+

B1B2

+

B2B3

+…+

Bn-1Bn

=3i+3

j

+(n-1)(2

i

+2

j

)
（III）∵|

AnAn+1

|=

1

3n-3

，△AnAn+1Bn+1的底面边AnAn+1的高为h1=2n+3．
又|

BnBn+1

|=2

2

，An(0，

29-( 1 3 )n-4

2

)到直线y=x的距离为h2=

29-( 1 3 )n-4

2 2

．
∴S_n=

1

2

•(2n+3)•

1

3n-3

+

1

2

•2

2

•

29-( 1 3 )n-4

2 2

=

29

2

+

n

3n-3

，（10分）
而S_n-S_n-1=

n

3n-3

-

n-1

3n-4

=

-2n+3

3n-3

＜0，
∴S₁＞S₂＞…＞S_n＞…
∴S_max=S₁=

29

2

+

1

3-2

=

29

2

+9=

47

2

.（12分）

点评：本题是一个数列应用题，也是等差等比数列的一个综合题，本题有着一个几何背景，需要做正确的转化和归纳，才能探究出正确的解决方法．本题是个难题，比较抽象．