【题目】如图,圆锥的轴截面为等腰为底面圆周上一点。
(1)若的中点为,求证: 平面;
(2)如果,求此圆锥的体积;
(3)若二面角大小为,求.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)60°
【解析】
(1)连接、,由三角形中位线定理可得,由圆周角定理我们可得,由圆锥的几何特征,可得,进而由线面垂直的判定定理,得到平面,则,结合及线面垂直的判定定理得到平面;
(2)若,易得,又由,我们求出圆锥的底面半径长及圆锥的高,代入圆锥体积公式,即可得到圆锥的体积;
(3)作于点,由面面垂直的判定定理可得平面,作于点,连,则为二面角的平面角,根据二面角的大小为,设,,进而可求出的大小
(1)如图:
连接、,因为为的中点,所以.
因为为圆的直径,所以,.
因为平面,所以,所以平面,.又,,所以平面.
(2),
,,又,
,.
(3)作于点,平面平面且平面平面
平面.再作于点,连,
为二面角的平面角
如图:
,.
设,,
,,,,
,.
,解得,
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【题目】已知函数,给出下列结论:
①在上是减函数;
②在上的最小值为;
③在上至少有两个零点.
其中正确结论的序号为_________(写出所有正确结论的序号)
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【题目】已知椭圆的左焦点为F,短轴的两个端点分别为A、B,且,为等边三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,点M在椭圆C上且位于第一象限内,它关于坐标原点O的对称点为N;过点M作x轴的垂线,垂足为H,直线与椭圆C交于另一点J,若,试求以线段为直径的圆的方程;
(3)已知是过点A的两条互相垂直的直线,直线与圆相交于两点,直线与椭圆C交于另一点R;求面积取最大值时,直线的方程.
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【题目】圆的方程为:,为圆上任意一点,过作轴的垂线,垂足为,点在上,且.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点的直线与曲线交于、两点,点的坐标为,的面积为,求的最大值,及直线的方程.
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【题目】已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln x.
(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;
(2)若方程f(x)=g(x)在区间[,e]上有两个不等解,求a的取值范围.
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【题目】如图,在三棱锥中,与都为等边三角形,且侧面与底面互相垂直,为的中点,点在线段上,且,为棱上一点.
(1)试确定点的位置,使得平面;
(2)在(1)的条件下,求二面角的余弦值.
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【题目】某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为,高为,圆锥的母线长为.
(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1);
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?
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【题目】我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.该原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图,在空间直角坐标系中的平面内,若函数的图象与轴围成一个封闭的区域,将区域沿轴的正方向平移8个单位长度,得到几何体如图一,现有一个与之等高的圆柱如图二,其底面积与区域的面积相等,则此圆柱的体积为__________.
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