Question

8．求值：（1）log₂cos$\frac{π}{9}$+log₂cos$\frac{2π}{9}$+log₂cos$\frac{4π}{9}$；
（2）$\frac{1+cos20°}{sin20°}$-sin10°（$\frac{1}{tan5°}$-tan5°）

Answer 1

分析 （1）利用对数性质、运算法则及公式$cosα=\frac{sin2α}{2sinα}$的合理运用．
（2）利用二倍角公式、同角三角函数关系式、三角函数恒等式求解．

解答 解：（1）log₂cos$\frac{π}{9}$+log₂cos$\frac{2π}{9}$+log₂cos$\frac{4π}{9}$
=$lo{g}_{2}（cos\frac{π}{9}•cos\frac{2π}{9}•cos\frac{4π}{9}）$
=log₂（$\frac{sin\frac{2π}{9}}{2sin\frac{π}{9}}•\frac{sin\frac{4π}{9}}{2sin\frac{2π}{9}}•\frac{sin\frac{8π}{9}}{2sin\frac{4π}{9}}$）
=log₂$\frac{1}{8}$
=-3．
（2）$\frac{1+cos20°}{sin20°}$-sin10°（$\frac{1}{tan5°}$-tan5°）
=$\frac{2co{s}^{2}10°}{2sin10°cos10°}$-sin10°（$\frac{cos5°}{sin5°}-\frac{sin5°}{cos5°}$）
=$\frac{cos10°}{sin10°}$-sin10°•$\frac{co{s}^{2}5°-si{n}^{2}5°}{sin5°cos5°}$
=$\frac{cos10°}{sin10°}$-sin10°•$\frac{cos10°}{\frac{1}{2}sin10°}$
=$\frac{cos10°}{sin10°}$-2cos10°
=$\frac{cos10°-2sin10°cos10°}{sin10°}$
=$\frac{cos10°-sin20°}{sin10°}$
=$\frac{cos10°-sin（30°-10°）}{sin10°}$
=$\frac{cos10°-sin30°cos10°+cos30°sin10°}{sin10°}$
=$\frac{1}{2}tan10°$+cos30°
=$\frac{tan10°+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、二倍角公式、同角三角函数关系式、三角函数恒等式的合理运用．