Question

2．已知函数f（x）=ax²-$\frac{1}{2}$x+c（a、c∈R），满足f（1）=0，f（0）=$\frac{1}{4}$成立．
（1）求a、c的值；
（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a-$\frac{1}{2}$+c=0，c=$\frac{1}{4}$，即可得到a，c的值；
（2）假设存在实数m，使函数g（x）=f（x）-mx=$\frac{1}{4}$x²-（$\frac{1}{2}$+m）x+$\frac{1}{4}$在区间[m，m+2]上有最小值-5．求得g（x）的对称轴，讨论①当m＜-1时，②当-1≤m＜1时，③当m≥1时，运用函数的单调性，可得最小值，解方程可得m的值．

解答 解：（1）由题意f（1）=0，f（0）=$\frac{1}{4}$，可得
a-$\frac{1}{2}$+c=0，c=$\frac{1}{4}$，
解得a=c=$\frac{1}{4}$；
（2）∵a=c=$\frac{1}{4}$，∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$．
∴g（x）=f（x）-mx=$\frac{1}{4}$x²-（$\frac{1}{2}$+m）x+$\frac{1}{4}$．
该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1．                                                
假设存在实数m，使函数g（x）=f（x）-mx=$\frac{1}{4}$x²-（$\frac{1}{2}$+m）x+$\frac{1}{4}$
在区间[m，m+2]上有最小值-5．
①当m＜-1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，
∴g（m）=-5，
即$\frac{1}{4}$m²-（$\frac{1}{2}$+m）m+$\frac{1}{4}$=-5，
解得 m=-3或m=$\frac{7}{3}$．
∵$\frac{7}{3}$＞-1，∴m=$\frac{7}{3}$舍去．                                                         
②当-1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+1，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，
而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，
∴g（2m+1）=-5，
即$\frac{1}{4}$（2m+1）²-（$\frac{1}{2}$+m）（2m+1）+$\frac{1}{4}$=-5．
解得m=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$$\sqrt{21}$或m=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{21}$，均应舍去．                                    
③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，
∴g（m+2）=-5，
即$\frac{1}{4}$（m+2）²-（$\frac{1}{2}$+m）（m+2）+$\frac{1}{4}$=-5．
解得m=-1-2$\sqrt{2}$或m=-1+2$\sqrt{2}$，其中m=-1-2$\sqrt{2}$应舍去．
综上可得，当m=-3或m=-1+2$\sqrt{2}$时，
函数g（x）=f（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．