Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（1）设集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求l（P）和l（Q）的值；
（2）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，求l（A）的值．

Answer 1

分析：（1）根据定义确定l（P），l（Q）；
（2）由题意可得：l（A）≤

n(n-1)

2

，再分情况讨论当j≠l时与当j=l，i≠k时，均有a_i+a_j≠a_k+a_l，进而得到l（A）=

n(n-1)

2

．

解答：解：（1）由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
得l（Q）=6
（2）因为集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}最多有

n(n-1)

2

个a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值，
所以l（A）≤

n(n-1)

2

．
又集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，任取a_i+a_j，a_k+a_l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
当j≠l时，不妨设j＜l，则a_i+a_j＜2a_j=2^j+1≤a_l＜a_k+a_l，即a_i+a_j≠a_k+a_l．
当j=l，i≠k时，a_i+a_j≠a_k+a_l．
因此，当且仅当i=k，j=l时，a_i+a_j=a_k+a_l．
即所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，
所以l（A）=

n(n-1)

2

．

点评：本题主要考查集合与元素的关系，以及组合的有关知识，认真审题，正确的理解题意并且仔细解答是解题的关键点．