Question

曲线C：y=2x³-3x²-2x+1，过点P（

1

2

，0）的切线方程为2x+y-1=0，且交于曲线A、B两点．求切线与C围成的图形的面积．

Answer 1

分析：由于切线过点P，故先设切点求切线方程，再与曲线C联立，可求交点坐标，从而利用定积分求曲线围成的图形面积．

解答：解：由y=2x³-3x²-2x+1得：y'=6x²-6x-2．
设切点为A（x₀，y₀），则y₀=2x₀³-3x₀²-2x₀+1，
于是 切线l为：y-（2x₀³-3x₀²-2x₀+1）=（6x₀²-6x₀-2）（x-x₀）…（3分）
又 切线过点P（

1

2

，0）
∴0-（2x

3 0

-3x

2 0

-2x₀+1）=（6x

2 0

-6x₀-2）（

1

2

-x₀）
化简得：x₀（4x₀²-6x₀+3）=0，
解得：x₀=0，y₀=1即切点A（0，1）
∴切线l为：2x+y-1=0，
联立

y=2x3-3x2-2x+1 2x+y-1=0

，解得：

x= 3 2 y=-2

或 

x=0 y=1

∴另一交点为B（

3

2

，-2）
∴S=

∫

3 2 0

[（1-2x）-（2x³-3x²-2x+1）]dx
═

∫

3 2 0

（3x²-2x³）dx═（x³-

1

2

x⁴）|

|

3 2 0

=

27

32

．

点评：本题以曲线为载体，考查曲线的切线方程，考查利用定积分求曲线围成的图形面积，解题的关键是区分在点处与过点的切线方程的求解．