Question

14．已知a∈R，命题p：?x∈[-2，-1]，x²-a≥0，命题q：?x∈R，x²+2ax-（a-2）=0．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=x²-a，若命题p为真命题，只要x∈[-2，-1]时，f（x）_min≥0即可，进而得到实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，命题p与q一真一假，进而得到答案．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）因为命题p：?x∈[-2，-1]，x²-a≥0．
令f（x）=x²-a，
根据题意，只要x∈[-2，-1]时，f（x）_min≥0即可，
也就是1-a≥0，即a≤1；…（4分）
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，
命题q为真命题时，△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≤-2或a≥1   …（6分）
因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，所以命题p与q一真一假，
…（7分）
当命题p为真，命题q为假时，-2＜a＜1，…（9分）
当命题p为假，命题q为真时，a＞1．…（11分）
综上：a＞1或-2＜a＜1．…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是复合命题，函数恒成立问题，方程根的存在性及个数判断，难度中档．