Question

2．已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，且a≠1）．设F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）-g（x），解决下列问题：
（1）求函数F（x）的定义域；
（2）证明F（x）为偶函数；并求F（x）的值域；
（3）证明G（x）为奇函数；并判断函数G（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的解析式，根据对数函数的性质求出函数F（x）的定义域即可；
（2）根据偶函数的定义证明即可，根据复合函数的单调性求出F（x）的值域即可；
（3）根据奇函数的定义证明即可，求出G（x）的导数，从而判断G（x）的单调性．

解答 解：（1）F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x），
由对数函数的定义得：$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜x＜1，
故F（x）的定义域是（-1，1）；
（2）证明：F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x），
F（-x）=log_a（-x+1）+log_a（1+x）=F（x），
F（x）的定义域是（-1，1），关于原点对称，
故F（x）是偶函数；
x=0时，F（0）=0，
x＞0时，F（x）=log_a（-x²+1），
a＞1时，F（x）在（0，1）递减，x→1时，F（x）→-∞，
故x＞0时，F（x）∈（-∞，0），
根据函数F（x）是偶函数得：
x＜0时，F（x）∈（-∞，0），
故f（x）的值域是（-∞，0]；
（3）证明：G（x）=f（x）-g（x）=log_a（x+1）-g（x）=log_a（1-x），
G（x）的定义域是（-1，1），关于原点对称，
G（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-G（x），
故函数G（x）在（-1，1）是奇函数；
G′（x）=$\frac{1}{（x+1）lna}$-$\frac{1}{（x-1）lna}$=$\frac{2}{（x-1）（x+1）lna}$，
a＞1时，G′（x）＜0，G（x）在（-1，1）递减，
0＜a＜1时，G′（x）＞0，G（x）在（-1，1）递增．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的值域问题，是一道中档题．