Question

16．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr²分，其中r是瓶子的半径，单位是cm．已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制做的瓶子的最大半径为6cm．
问题：瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？$（{V_球}=\frac{4}{3}π{r^3}）$．

Answer 1

分析 先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论．

解答 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y=f（r）=0.2×$\frac{4}{3}$πr³-0.8πr²=0.8π（$\frac{{r}^{3}}{3}$-r²），0＜r≤6
令f'（r）=0.8π（r²-2r）=0解得  r=2（r=0舍去）
当r∈（0，2）时，f'（r）＜0；当r∈（2，6）时，f'（r）＞0．
当半径r＞2时，f'（r）＞0它表示f（r）单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径r＜2时，f'（r）＜0它表示f（r）单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为2cm 时，利润最小，这时f（2）＜0，
表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为6cm时，利润最大．

点评 本题考查函数模型的建立，考查导数知识的运用，确定函数的模型是解题的关键．同时考查了分析问题的能力，属于中档题．