Question

已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点
（1）利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=45⁰；
（2）若∠PED=45⁰，求证：P、D、C、E四点共圆。

Answer 1

(Ⅰ) 点P为靠近点A的AB三等分处  (Ⅱ) 见解析

：(Ⅰ)利用坐标系可以确定点P位置建立平面直角坐标系则C（2，0），D（2，3），E（1，0）设P（0，y）∴ =（1，3），=（-1，y）∴    
·=3y-1代入cos45⁰=解之得（舍），或y=2
∴ 点P为靠近点A的AB三等分处
(Ⅱ)  当∠PED=45⁰时，由（1）知P（0，2） ∴ =（2，1），=（-1，2）
∴·=0∴ ∠DPE=90⁰又∠DCE=90⁰∴ D、P、E、C四点共圆
说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。