Question

1．已知公差不为零的等差数列{a_n}各项为正数，前n项和为S_n，2S₂=a₂〔a₂+1〕，a₁，a₂，a₄为等比数列．
（1）求通项公式a_n；
（2）设b_n=2S_n+$\frac{3}{{a}_{n}}$，求b_n的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由题意设等差数列{a_n}的公差为d，d≠0，由题意可得a₂和d的方程组，解方程组可得a₂和d，进而可得a₁，可得通项公式；
（2）由等差数列的求和公式代入可得b_n的通项公式．

解答 解：（1）由题意设等差数列{a_n}的公差为d，d≠0，
∵2S₂=a₂〔a₂+1〕，a₁，a₂，a₄为等比数列，
∴2（2a₂-d）=a₂〔a₂+1〕，a₂²=（a₂-d）（a₂+2d），
两式联立解得a₂=2，d=1，∴a₁=a₂-d=1，
∴通项公式a_n=a₁+（n-1）d=n；
（2）由（1）可得b_n=2S_n+$\frac{3}{{a}_{n}}$=2•$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3}{n}$=n²+n+$\frac{3}{n}$

点评 本题考查等差数列和等比数列，求出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．