【题目】已知椭圆C的中心在原点,焦点F1 , F2在轴上,焦距为2,离心率为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P是椭圆C上第一象限内的点,△PF1F2的内切圆的圆心为I,半径为 .求:
(i)点P的坐标;
(ii)直线PI的方程.
【答案】
(1)解:设椭圆C的方程为 ,(a>b>0),
由题意得 ,
解得a2=4,b2=3,
∴椭圆C的方程为 .
(2)解:(i)∵|PF1|+|PF2|=4,∴在△PF1F2中,|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6,
∴△PF1F2的面积 = (|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r= ,
又 = ,
∴ ,由 ,得xP=1,∴P(1, ).
(ii)∵P(1, ),F1(﹣1,0),∴直线PF1的方程为 = ,
∴3x﹣4y+3=0,
∵△PF1F2的内切圆的半径为 ,∴设I( ),
则 = ,
解得 或 (舍).
∴直线PI的方程为y=2x﹣ .
【解析】(1)设椭圆C的方程为 ,(a>b>0),由焦距为2,离心率为 ,列方程组解得a2=4,b2=3,由此能求出椭圆C的方程.(2)(i)由|PF1|+|PF2|=,得|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6,利用△PF1F2的面积能求出P点坐标.(ii)先求出直线PF1的方程,设I( ),由点到直线的距离公式能求出直线PI的方程.
【考点精析】认真审题,首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:).
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【题目】若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.
(1)求函数的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.
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【题目】下面给出一个用循环语句编写的程序:
k=1
sum=0
WHILE k<10
sum=sum+k∧2
k=k+1
WEND
PRINT sum
END
(1)指出程序所用的是何种循环语句,并指出该程序的算法功能;
(2)请用另一种循环语句的形式把该程序写出来.
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【题目】(本小题满分14分)
已知函数(为常数)的图像与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为.
(1)求的值及函数的极值;
(2)证明:当时,
(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,当x=时,y最大值1,当x=时,取得最小值-1
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)写出此函数取得最大值时自变量x的集合和它的单调递增区间.
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【题目】已知命题p:x∈(1,+∞), >1;命题q:a∈(0,1),函数y=ax在(﹣∞,+∞)上为减函数,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.¬p∧q
C.p∧¬q
D.¬p∧¬q
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【题目】如图所示,已知椭圆: 的长轴为,过点的直线与轴垂直,椭圆上一点与椭圆的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2) 设是椭圆上异于, 的任意一点,连接并延长交直线于点, 点为的中点,试判断直线与椭圆的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】已知椭圆: 的左右焦点分别为, ,左顶点为,上顶点为, 的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线: 与椭圆相交于不同的两点, , 是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点,求的取值范围.
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【题目】已知函数,( , ).
(1)若, ,求函数的单调减区间;
(2)若时,不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)当, 时,记函数的导函数的两个零点是和(),求证: .
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