Question

8．已知函数f（x）=x²-2x+2a，f（x）≤0的解集为{x|-2≤x≤m}．
（Ⅰ）求a，m的值；
（Ⅱ）若关于x的不等式（c+a）x²+2（c+a）x-1＜0恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）得到-2，m是方程x²-2x+2a=0的根，组成方程组，解出即可；
（Ⅱ）通过讨论c的范围结合二次函数的性质求出c的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）≤0的解集为{x|-2≤x≤m}，
∴-2，m是方程x²-2x+2a=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+4+2a=0}\\{{m}^{2}-2m+2a=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-4，m=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a=-4，
（c+a）x²+2（c+a）x-1＜0，
即（c-4）x²+2（c-4）x-1＜0，
c-4=0，即c=4时，-1＜0，成立，
c-4≠0时，
若关于x的不等式（c+a）x²+2（c+a）x-1＜0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{c-4＜0}\\{△={4（c-4）}^{2}+4（c-4）＜0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{13}{4}$＜c＜4，
综上，$\frac{13}{4}$＜c≤4．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，是中档题．