Question

已知数列{a_n}的前n项和为 S_n=（n∈N*），且a₁=2．数列{b_n}满足b₁=0，b₂=2，=，n=2，3，…．
（Ⅰ）求数列 {a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {b_n} 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于 n∈N^*，．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵S_n=，∴2S_n=（n+1）a_n①，∴2S_n+1=（n+2）a_n+1②，
∴①-②可得2a_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
∴
当n≥2时，
∵a₁=2
∴数列 {a_n} 的通项公式为a_n=2n；
（Ⅱ）解：∵b₁=0，b₂=2，=，n≥2，
∴n≥3时，
b₁=0，b₂=2满足上式，
∴数列 {b_n} 的通项公式为；
（Ⅲ）证明：
当k≥2时，
∴
∵b₁=0，
∴==2^n-1-1
∴对于n∈N^*，
分析：（Ⅰ）利用S_n=，可得2S_n=（n+1）a_n，再写一式2S_n+1=（n+2）a_n+1，两式相减可得，利用叠乘法，可求数列 {a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）根据b₁=0，b₂=2，=，利用叠乘法，可求数列 {b_n} 的通项公式；
（Ⅲ）先证明，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．
点评：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的综合，考查叠乘法，考查等比数列的求和公式，综合性强．