Question

【题目】已知函数f（x）在R上满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（1）=2．
（1）求f（0）、f（3）的值；
（2）判定f（x）的单调性；
（3）若f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6对任意x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），

令x=y=0，则有f（0）=f（0）+f（0），

∴f（0）=0，

令x=y=1，则有f（2）=f（1）+f（1），

∴f（2）=4，

令x=2，y=1，则有f（3）=f（2）+f（1），

∴f（3）=6

（2）解：令x=x，y=﹣x，则有f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

任取x1，x2∈R，设x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，又x＞0时，f（x）＞0，

则有f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）是R上的增函数

（3）解：f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6恒成立，

由已知及（1）即为f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞f（3）恒成立

∵f（x）是R上的增函数，

∴4x﹣a+6+2x+1＞3恒成立，即4x+2×2x+3＞a恒成立，

令g（x）=4x+2×2x+3=（2x+1）2+2

∵2x＞0，

∴g（x）＞3，

∴a≤3，

即实数a的取值范围为（﹣∞，3]

【解析】（1）令x=y=0，可得f（0）=0，再令x=y=1，可得f（2）=4，再x=2，y=1，则有f（3）=6，（2）用定义判定f（x）的单调性；（3）利用f（x）的单调性，原不等式转化为4x+2×2x+3＞a恒成立，构造函数g（x）=4x+2×2x+3=（2x+1）2+2，求出函数最值即可．