Question

4．将函数$y=\sqrt{3}cosx+sinx，（x∈R）$的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值是（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 y=$\sqrt{3}$cosx+sinx=2cos（x-$\frac{π}{6}$），故将函数平移后得到y=2cos（x-$\frac{π}{6}$-θ），由于平移后的新函数是偶函数，得cos（-x-$\frac{π}{6}$-θ）=cos（x-$\frac{π}{6}$-θ），即cos（x+$\frac{π}{6}$+θ）=cos（x-$\frac{π}{6}$-θ）恒成立，于是x+$\frac{π}{6}$+θ=x-$\frac{π}{6}$-θ+2kπ，解出θ=kπ-$\frac{π}{6}$．

解答 解：∵y=$\sqrt{3}$cosx+sinx=2cos（x-$\frac{π}{6}$），
∴将函数平移后得到的函数为y=2cos（x-$\frac{π}{6}$-θ），
∵y=2cos（x-$\frac{π}{6}$-θ）的图象关于y轴对称，
∴cos（-x-$\frac{π}{6}$-θ）=cos（x-$\frac{π}{6}$-θ），即cos（x+$\frac{π}{6}$+θ）=cos（x-$\frac{π}{6}$-θ）恒成立．
∴x+$\frac{π}{6}$+θ=x-$\frac{π}{6}$-θ+2kπ，解得θ=kπ-$\frac{π}{6}$．
∵θ＞0，
∴当k=1时，θ取最小值$\frac{5π}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换及函数图象变换，利用图象变换规律找到平移后的函数是关键．