Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+1的单调递增区间是（-∞，-2]与[2，+∞），单调递减区间是[-2，2]．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若f（x）的图象与直线y=m恰有三个公共点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由单调递区间的端点可得：-2，2是导数的两个零点，从而求出参数b，c，得到函数f（x）的解析式；
（2）用数形结合的方法解，画出图象．由图可知，直线x=m与曲线有三个交点时，m的值在最大值与最小值之间．
由此得不等关系解决．

解答：解：（I）f'（x）=3x²+2bx+c，依题意有

f′(-2)=0 f′(2)=0

即

12-4b+c=0 12+4b+c=0

解得b=0，c=-12．∴函数f（x）的解析式为f（x）=x³-12x+1．（6分）
（II）由条件可知，函数f（x）有极大值f（-2）=17，极小值f（2）=-15．（10分）
因为f（x）的图象与直线y=m恰有三个公共点，
所以，-15＜m＜17．（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的极值以及图象法，函数图象是表述函数问题的重要工具，因此，巧妙运用函数图象，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．