本题考查抛物线的标准方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查弦长的计算,解题的关键是联立方程,利用韦达定理求解,属于中档题
(1)根据抛物线D的顶点是椭圆
的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合,设出抛物线方程,即可求得抛物线D的方程;
(2)设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2).(i)直线l的方程代入抛物线方程,利用韦达定理可求|AB|;
(3) 设存在直线m:x=a满足题意,则圆心M(
),过M作直线x=a的垂线,垂足为E,设直线m与圆M的一个交点为G,可得:|EG|
2=|MG|
2-|ME|
2=(a-3)x
1+4a-a
2,由此可得结论.
解:(1)y
2=4x(3分)
(i)A(x
1,y
1) B(x
2,y
2) |AB|=
(4分)
(ii)设存在直线m:x=a,满足题意,则圆心M
,过M作直线x=a的垂线,垂足为E,设直线m与圆M的一个交点为G,可得|EG|
2=|MG|
2-|ME|
2=(a-3)x
1+4a-a
2当a=3时,弦长恒为定值2
因此存在直线m:x=3满足题意(6分)