Question

【题目】已知圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，圆心坐标为（t，t）（t＞0）．
（1）若△AOB的面积为2，求圆C的方程；
（2）直线2x+y﹣6=0与圆C交于点D、E，是否存在t使得|OD|=|OE|？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣t）2=2t2，

当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；

当x=0时，y=0或2t，则B（0，2t），

∴S△AOB= |OA||OB|= |2t||2t|=2，

∵t＞0，

∴t=1．

∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2

（2）解：∵|OD|=|OE|，∴OC⊥DE，

∵直线DE的斜率k=﹣2，OC的斜率为1

∴t=2或t=﹣2．不满足斜率的积为﹣1，

∴不存在t使得|OD|=|OE|

【解析】（1）根据圆的方程求出A，B的坐标，利用△AOB的面积为2，即可求圆C的方程；（2）求出DE，OC的斜率，即可得出结论．