Question

【题目】如图，在空间几何体ABCDFE中，底面是边长为2的正方形，，，.

（1）求证：AC//平面DEF；

（2）已知，若在平面上存在点，使得平面，试确定点的位置.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)是线段上靠近的三等分点.

【解析】试题分析：

（1）连BD交AC于O，取DE中点K，连结OK、KF，由题意结合三角形中位线的性质可得四边形AOKF为平行四边形，则，由线面平行的判断定理可得AC//平面DEF

（2）由题意，以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.由题意可得，，设，计算可得，由可得方程组，求解方程组有即.是线段上靠近的三等分点.

试题解析：

（1）连BD交AC于O，取DE中点K，连结OK、KF

∵AC、BD是正方形的对角线

∴O为BD中点，∴，∴四边形AOKF为平行四边形，∴

又∵平面DEF，平面DEF

∴AC//平面DEF

（2）在△DAF中，，，，所以

又因为，，平面ABCD

∴平面.

以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图）.

则，，，，，

设，因为，，

又，

所以，

∵∴

解得即.所以是线段上靠近的三等分点.