Question

如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站，该岛的一个端点A位于点C的正北方向4km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，且与点A相距4.5km，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立一个核辐射监测站．
（1）设CP=x，∠APB=θ，试将tanθ表示成x的函数；
（2）若要求在监测站P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？

Answer 1

【答案】分析：（1）分别以直线CP，CA为x，y轴建立直角坐标系，过点B分别作CP，CA的垂线，垂足为D，E．由题设AB=4.5，AC=，∠BAE=30°，从而可求出A，B的坐标，又点P（x，0），从而可得tanθ表示成x的函数
（2）令x+4=t，则，利用基本不等式，可求tanθ的最大值．
解答：解：（1）分别以直线CP，CA为x，y轴建立直角坐标系，过点B分别作CP，CA的垂线，垂足为D，E
由题设AB=4.5，AC=，∠BAE=30°，则CD=EB=4.5
BD=EC=AE+AC=
∴
又点P（x，0），则
所以当x＞0，且时，
当时，点P与点D重合，，满足上式，
所以
（2）令x+4=t，则
∵，∴
当且仅当，即t=10
∴x=6时取等号，此时tanθ取最大值，θ取最大值．
答：点P应选址在点C正东方向6km处．
点评：本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是正确运用差角的正切公式及基本不等式．