Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的导函数是g（x），a+b+c=0，g（0）•g（1）＜0．设x₁，x₂是方程g（x）=0的两根，则|x₁-x₂|的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：由题意得：g（x）=3ax²+2bx+c，并且c=-a-b，因为g（0）•g（1）=c（3a+2b+c）＜0，所以可得：(

b

a

)2+3

b

a

+2＞0
解得：

b

a

＜-2或

b

a

＞-1．根据韦达定理可得：|x₁-x₂|=

2

3

[( b a )+ 3 2 ]2+ 3 4

≥

2

3

．

解答：解：由题意得：g（x）=3ax²+2bx+c
因为a+b+c=0，所以c=-a-b，
又因为g（0）•g（1）=c（3a+2b+c）＜0
所以（a+b）（3a+2b-a-b）＞0，即整理可得：(

b

a

)2+3×

b

a

+2＞0 
解得：

b

a

＜-2或

b

a

＞-1．
因为x₁，x₂是方程g（x）=3ax²+2bx+c=0的两根
所以x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

=-

1

3

-

b

3a

．
所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

3

( b a )2+ 3× b a +3

因为

b

a

＜-2或

b

a

＞-1，
所以|x₁-x₂|=

2

3

[( b a )+ 3 2 ]2+ 3 4

≥

2

3

，
所以|x₁-x₂|的取值范围为 [

2

3

，+∞）．
故答案为 [

2

3

，+∞)．

点评：解决此类问题的方法是正确的利用二次函数与一二次方程之间的关系结合着根与系数的关系表达出所求，再利用二次函数定区间上求最值的方法求解即可．