Question

已知棱长等于2

3

的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，它的外接球的球心为O，点E是AB的中点，点P是球O的球面上任意一点，有以下判断：①该正方体外接球的体积是36π；②异面直线OE与B₁C所成角为90°；③PE长的最大值为3+

6

；④过点E的平面截球O的截面面积的最小值为6π．其中所有正确判断的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：根据正方体外接圆的直径是正方体的体对角线可求外接圆的半径；当过球内一点E的截面与OE垂直时，截面面积最小可求截面半径；
球面上到球内一点距离最大时，是在球的直径的一个端点上等知识求解．

解答：解：∵外接球的半径R=

(2 3 )2+(2 3 )2+(2 3 )2

2

=3，∴V_球=

4

3

π×27=36π，∴①√；
∵OE∥BC₁，BC₁⊥B₁C，∴OE⊥B₁C，∴②√；
∵当P、E、O在一条直线时，PE长最大，∴PE长的最大值是R+

(2 3 )2+(2 3 )2

2

=3+

6

，∴③√；
∵当过点E的平面与OE垂直时，截面面积最小，r=

R2-|OE|2

=

3

，S=π×3=3π，∴④×；
 故答案是①②③

点评：本题考查空间几何体的体积、面积计算及接体问题，找准量化关系是关键．