Question

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救、甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船．
（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与

CA

成θ角，求f(x)=sin2θsinx+

3

4

cos2θcosx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，利用余弦定理可得．
（Ⅱ）在△ABC中，利用正弦定理可得sinθ，用平方关系求cosθ，再用asinθ+bcosθ=

a2+b2

sin（θ+φ）化为一个角的一个三角函数，可得值域．

解答：解：（Ⅰ）连接BC，由余弦定理得BC²=20²+10²-2×20×10cos120°=700
∴BC=10

7

（海里），
即处于C处的乙船和遇险渔船间的距离为10

7

海里．（5分）
（Ⅱ）∵

sinθ

20

=

sin120°

10 7

，∴sinθ=

3 7

∵θ是锐角，∴cosθ=

4 7

f(x)=sin2θsinx+

3

4

cos2θcosx=

3

7

sinx+

3

7

cosx=

2 3

7

sin(x+

π

6

)
∴f（x）的值域为[-

2 3

7

， 

2 3

7

] （13分）

点评：本题考查解三角形的实际应用，用到正、余弦定理，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边，余弦定理在解三角形中，用于下面两种题型：知三边解三角形；知两边及夹角解三角形，求三角函数的值域时，要化为一个角的一个三角函数来求．