Question

已知⊙O₁的极坐标方程为ρ=4cosθ．点A的极坐标是（2，π）．
（Ⅰ）把⊙O₁的极坐标方程化为直角坐标参数方程，把点A的极坐标化为直角坐标．
（Ⅱ）点M（x₀，y₀）在⊙O₁上运动，点P（x，y）是线段AM的中点，求点P运动轨迹的直角坐标方程．

Answer 1

解：（I）∴⊙O₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，∴两边者乘以ρ，得ρ²=4ρcosθ
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，
∴⊙O₁的直角坐标方程为x²+y²=4x，化成标准方程得（x-2）²+y²=4
令x=2+2cosα，y=2sinα，得⊙O₁的参数方程为（α为参数）
设点A的直角坐标为（m，n）
∵点A的极坐标是（2，π），∴m=2cosπ=-2，n=2sinπ=0
由此可得点A的直角坐标为（-2，0）．
（II）∵A（-2，0），M（x₀，y₀），
∴线段AM的中点P（x，y）满足，可得
∵点M（x₀，y₀）在⊙O₁上运动，
∴（x₀-2）²+y₀²=4，可得[（2+2x）-2]²+（2y）²=4，化简得x²+y²=1
由此可得：点P运动轨迹的直角坐标方程为x²+y²=1．
分析：（I）将⊙O₁的极坐标方程两边者乘以ρ，得ρ²=4ρcosθ，再根据公式ρcosθ=x和ρ²=x²+y²，代入化简即可得到⊙O₁的直角坐标方程，进而得到⊙O₁的参数方程．最后由极坐标化直角坐标的公式，不难得到点A（2，π）的直角坐标．
（II）根据中点坐标公式和A、M的坐标，算出，再根据点M（x₀，y₀）是⊙O₁上的点，代入得到关于x、y二次方程，化简得x²+y²=1即为点P运动轨迹的直角坐标方程．
点评：本题给出⊙O₁的极坐标方程，求它的直角坐标方程与参数方程，并依此求动点P的轨迹．着重考查了极坐标方程与直角坐标方程、参数方程的互化和轨迹方程求法的一般步骤等知识，属于中档题．