Question

【题目】如图所示，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成角等于，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用平行四边形判定法则，证明CN平行ME，然后结合直线与平面平行判定，即可。（2）建立直角坐标系，分别计算两平面的法向量，然后结合向量数量积，即可。

（1）取线段中点，连结，，因为，分别是、的中点，所以

且，

正方形中，是的中点.所以且，

所以且，

故四边形为平行四边形，

从而，

又因为平面，平面，所以平面.

（2）过作于，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，从而为直线在平面内的射影，

故为直线与平面所成角，所以.

如图，以为坐标原点，分别以过点且平行于的直线、，所在的直线

为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，.

设，分别为平面和的法向量，

则，即，

令得，

，即，令得，

，

所以二面角的余弦值为.