Question

已知函数y=f（x）（x∈（0，2））的图象是如图所示的圆C的一段圆弧．现给出如下命题：
①f′（1）=0；
②f′（x）≥0；
③f′（x）为减函数；
④若f′（a）+f′（b）=0，则a+b=2．
其中所有正确命题的序号为

①③④

．

Answer 1

分析：对于①根据导数的几何意义，f′（1）表示函数f（x）在x=1处切线的斜率，由图可知其正确性；对于②由于函数f（x）在区间（1，2）上是减函数，根据导数的符号与单调性的关系知②不正确；对于③根据导数的几何意义，f′（x）表示函数f（x）在点（x，y）处切线的斜率，切线的斜率从正数→0→负数，且是渐渐变大的，从而进行判断；对于④若f′（a）+f′（b）=0，说明点x=a与x=b关于直线x=1对称，结合中点坐标公式可得结果．

解答：解：①根据导数的几何意义，f′（1）表示函数f（x）在x=1处切线的斜率，由图可知，函数f（x）在x=1处切线平行于x轴，故f′（1）=0，正确；
②由于函数f（x）在区间（1，2）上是减函数，故当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，故②不正确；
③根据导数的几何意义，f′（x）表示函数f（x）在点（x，y）处切线的斜率，由图可知，切线的斜率从正数→0→负数，且是渐渐变大的，故f′（x）为减函数，正确；
④若f′（a）+f′（b）=0，说明点x=a与x=b关于直线x=1对称，由中点坐标公式得

a+b

2

=1，则a+b=2，正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要熟练掌握导函数的图象和性质．