Question

（2010•重庆一模）已知F是抛物线y²=4x的焦点，Q是抛物线的准线与x轴的交点，直线l经过点Q．
（Ⅰ）若直线l与抛物线恰有一个交点，求l的方程；
（Ⅱ）如题20图，直线l与抛物线交于A、B两点，
（ⅰ）记直线FA、FB的斜率分别为k₁、k₂，求k₁+k₂的值；
（ⅱ）若线段AB上一点R满足

|AR|

|RB|

=

|AQ|

|QB|

，求点R的轨迹．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意得：Q（-1，0），直线l斜率存在，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x+1），代入抛物线方程有：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，对k进行讨论，从而得解；
（Ⅱ）（ⅰ）记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分别用坐标表示直线FA、FB的斜率分别为k₁、k₂，利用韦达定理，从而可求k₁+k₂的值；
（ⅱ）设点R的坐标为（x，y），利用

|AR|

|RB|

=

|AQ|

|QB|

，可得

y-y1

y2-y

=

y1-0

y2-0

，故可求y=

2y1y2

y1+y2

=

2×4

4 k

=2k
从而可得点R的轨迹．

解答：解：依题意得：Q（-1，0），直线l斜率存在，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x+1），代入抛物线方程有：k²x²+（2k²-4）x+k²=0…（2分）
（Ⅰ）若k≠0，令△=0得，k=±1，此时l的方程为y=x+1，y=-x-1．
若k=0，方程有唯一解．此时l的方程为y=0…（4分）
（Ⅱ）显然k≠0，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4-2k2

k2

，x1x2=1，y1+y2=

4

k

，y₁y₂=k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）=4…（6分）
（ⅰ）k1+k2=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

2k(x1x2-1)

(x1-1)(x2-1)

=0…（8分）
（ⅱ）设点R的坐标为（x，y），
∵

|AR|

|RB|

=

|AQ|

|QB|

，
∴

y-y1

y2-y

=

y1-0

y2-0

，
∴y=

2y1y2

y1+y2

=

2×4

4 k

=2k
∴x=

1

k

y-1=2-1=1…（10分）
由△＞0得，-1＜k＜1，又k≠0，
∴y∈（-2，0）∪（0，2）．
综上，点R的轨迹为x=1，y∈（-2，0）∪（0，2）…（12分）

点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查轨迹的探求，有一定的综合性．