Question

如图所示，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角为∠ABC=120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角为∠ADC=150°；从D处再攀登800米方到达C处．则索道AC的长为

400

13

米

．

Answer 1

分析：在△ABC中根据∠ABD=120°，∠ADB=180°-∠ADC=30°，利用内角和定理算出∠DAB=30°，从而AB=BD=400，利用余弦定理算出AD=400

3

．然后在△ADC中，根据两边AD、DC长和夹角∠ADC=150°，利用余弦定理解出AC²值，从而得出AC=400

13

，得到本题答案．

解答：解：在△ABD中，BD=400米，∠ABD=120°，
∵∠ADB=180°-∠ADC=30°
∴∠DAB=180°-120°-30°=30°
得△ABD中，AB=BD=400，AD=

AB2+BD2-2AD•BDcos120°

=400

3

（米）
在△ADC中，DC=800，∠ADC=150°
∴AC²=AD²+DC²-2 AD•DC•cos∠ADC      
=400²×3+800²-2×400

3

×800×cos150°=400²×13（米²）
∴AC=

4002×13

=400

13

（米）    
故答案为：400

13

米．

点评：本题以山上的索道为例，求嵩山的一条索道AC之长．着重考查了三角形内角和定理、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．