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    函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=
    1
    2

    （1）求f(
    1
    2
    )    的值．
    （2）数列{an} 满足：an=f(0)+f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )+f(1)    ，数列{an}是等差数列吗？请给予证明．
    分析：（1）在给出的等式中，取x=
    1
    2
    ，整理后即可得到答案；
    （2）在给出等式中取x=
    1
    n
    ，得到f(
    1
    n
    )+f(
    n-1
    n
    )=
    1
    2
    ，把an=f(0)+f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )+f(1)    倒序后两式相加求出an，然后判断an+1-an是否为常数．
    解答：解：（1）由f（x）+f（1-x）=
    1
    2
    ，
    令x=
    1
    2
    ，得f(
    1
    2
    )+f(
    1
    2
    )=
    1
    2
    ，∴f(
    1
    2
    )=
    1
    4

    （2）数列{an}是等差数列．
    事实上，令x=
    1
    n
    ，得f(
    1
    n
    )+f(1-
    1
    n
    )=
    1
    2
    ，
    即f(
    1
    n
    )+f(
    n-1
    n
    )=
    1
    2
    ，an=f(0)+f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )+f(1)
    又an=f(1)+f(
    n-1
    n
    )+f(
    n-2
    n
    )+…+f(
    1
    n
    )+f(0)    ，
    两式相加得：
    2an=[f(0)+f(1)]+[f(
    1
    n
    )+f(
    n-1
    n
    )]+…+[f(1)+f(0)]    =
    n+1
    2
    ，
    ∴an=
    n+1
    4
    ，n∈N*    ，
    则an+1-an=
    (n+1)+1
    4
    -
    n+1
    4
    =
    1
    4
    ．
    故数列{an}是等差数列．
    点评：本题考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，解答的关键是利用倒序相加法求得an，是中档题．
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    设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
    （1）求证：f（x）是奇函数；
    （2）试问：在-2≤x≤2时，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
    （3）解关于x的不等式
    1
    2
    f(bx)-f(x)＞
    1
    2
    f(b2x)-f(b)    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x+
    a
    x
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    （1）判断f（x）单调性并证明；
    （2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
    （3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+
    3
    2
    ＞0恒成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    （2）若对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），试证明：
    1
    2
    [f（x1）+f（x2）]＞f（
    x1+x2
    2
    ）成立．
    （3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
    ①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
    ②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
    1
    2
    (x-1)2    ？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时f（x）＜0．
    （Ⅰ）求f（1）的值；
    （Ⅱ）判断f（x）的单调性；
    （Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x-2）+f（x）＞-3．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
    （1）求证：f（x）是奇函数；
    （2）试问：在-n≤x≤n时（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
    （3）解关于x的不等式
    1
    2
    f(bx2)-f(x)≥
    1
    2
    f(b2x)-f(b)，(b＞0)    ．

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