Question

（本题满分12分）
某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:
①输入1时，输出结果是；
②输入整数时，输出结果是将前一结果先乘以3n-5，再除以3n+1.
（1）  求f(2),f(3),f(4);
（2） 试由（1）推测f(n)（其中）的表达式，并给出证明.

Answer 1

（1）;;.    
(2)猜想：（其中），以下用数学归纳法证明：见解析。

本试题主要是考查了数列的归纳猜想思想的运用，以及运用数学归纳法求证恒等式的综合运用。
（1）由题设条件知f(1)= ,=,对于n令值，然后得到前几个值。
（2）猜想：（其中）并运用数学归纳法，运用两步来证明其成立。
解：由题设条件知f(1)= ,=,
;
;
.       ………………………………3分
(2)猜想：（其中）……………………5分
以下用数学归纳法证明：
（1）  当时，，
所以此时猜想成立。                ………………………………6分
（2）  假设时，成立
那么时，
……………9分
所以时，猜想成立。
由（1）（2）知，猜想：（其中）成立。
…………………………12分