Question

16．已知函数$f（x）=\frac{{p{x^2}+1}}{x}$的图象经过点$（{2，\frac{5}{2}}）$，．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）的定义域，并判断其奇偶性；
（3）当t＞$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）在区间$[{\frac{1}{2}，t}]$上的最小值g（t）．

Answer 1

分析 （1）根据条件求出p的值即可．
（2）根据函数成立的条件，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．
（3）判断函数的单调性，利用函数单调性和最值之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{{p{x^2}+1}}{x}$的图象经过点$（{2，\frac{5}{2}}）$，
∴f（2）=$\frac{4p+1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
即4p+1=5，
即4p=4，
则p=1，$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{x}$…．（4分）
（2）定义域为{x|x≠0}…（6分），
 $f（-x）=\frac{{{{（-x）}^2}+1}}{-x}=-f（x）$，
故f（x）为奇函数…（8分）
（3）$f（x）=x+\frac{1}{x}$，
设0＜x₁＜x₂$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{{x_1}+\frac{1}{x_1}}）-（{{x_2}+\frac{1}{x_2}}）$=$（{{x_1}-{x_2}}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$，
当0＜x₁＜x₂≤1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，1]上是减函数；
当1＜x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数；…（10分）
${f_{max}}（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2，（{t≥1}）}\\{t+\frac{1}{t}，（{\frac{1}{2}＜t＜1}）}\end{array}}\right.$…（12分）（无单调性证明、无分类讨论等适当扣分）

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性，最值的求解和应用，利用定义法是解决本题的关键．