【题目】如图,在圆内画1条线段,将圆分割成两部分;画2条相交线段,彼此分割成4条线段,将圆分割成4部分;画3条线段,彼此最多分割成9条线段,将圆最多分割成7部分;画4条线段,彼此最多分割成16条线段,将圆最多分割成11部分.那么
(1)在圆内画5条线段,它们彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部分?
(2)猜想:圆内两两相交的n条线段,彼此最多分割成多少条线段?
(3)猜想:在圆内画n条线段,两两相交,将圆最多分割成多少部分?
并用数学归纳法证明你所得到的猜想.
【答案】 (1)25,16(2) n2(3)见解析
【解析】
根据1条、2条、3条、4条的特殊情况,发现规律,即可得到结论,然后用数学归纳法证明即可.
(1) 画2条相交线段,彼此分割成4条线段,将圆分割成4部分;画3条线段,彼此最多分割成9条线段,将圆最多分割成7部分;画4条线段,彼此最多分割成16条线段,将圆最多分割成11部分,所以画5条线段,彼此最多分割成25条线段,将圆最多分割成16部分.
(2) 圆内两两相交的n条线段,彼此最多分割成n2条线段;
(3) 1条线段把圆分成f(1)=2部分,2条线段把圆分成f(2)=2+2部分,3条线段把圆分成f(3)=2+2+3部分,4条线段把圆分成f(4)=2+2+3+4部分,可猜想n条线段把圆分成f(n)=2+(2+3+4+5+6+7+8+…n)=1+(1+2+3+4+5+6+7+8+…n)=部分,证明如下,
证明:①当n=1时 上式显然成立
②假设当n=k(k≥2)时成立,即f(k)=成立
则当n=k+1时,第k+1条直线与前k条直线相交有k个交点,
所以k个交点将第k+1条线段分成k+1份,每一份将原来的部分又分成2份,
所以在原来的基础上增加了k+1部分,
所以f(k+1)=f(k)+k+1=+k+1=
所以当n=k+1时成立,综合①②,所以猜想成立.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知点是曲线上一点,若点到曲线的最小距离为,求的值.
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【题目】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽/柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每生产x(百辆),需另投入成本万元,且.由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2018年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本)
(2)2018年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
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【题目】设函数(实数为常数)
(1)当时,证明在上单调递减;
(2)若,且为偶函数,求实数的值;
(3)小金同学在求解函数的对称中心时,发现函数是一个复合函数,设,,则,显然有对称中心,设为,有反函数,则的对称中心为,请问小金的做法是否正确?如果正确,请给出证明,并直接写出当时的对称中心;如果错误,请举出反例,并用正确的方法直接写出当时的对称中心.
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