分析 (1)由$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{7}{3}$得$sinθcosθ=-\frac{1}{3}$,对sinθ-cosθ取平方得(sinθ-cosθ)2=$\frac{5}{3}$,根据θ的范围开方得出sinθ-cosθ的值;
(2)由$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$得$tanθ=-\frac{1}{2}$,对$\frac{{3-{{cos}^2}θ}}{{{{sin}^2}θ}}+3tan2θ$进行化简得出答案.
解答 解:(1)∵$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{7}{3}$,∴$sinθcosθ-2=-\frac{7}{3}$,∴$sinθcosθ=-\frac{1}{3}$.
∴${(sinθ-cosθ)^2}=1-2sinθcosθ=\frac{5}{3}$.
∵θ为第二象限角,∴sinθ>0,cosθ<0,
∴$sinθ-cosθ=\frac{{\sqrt{15}}}{3}$.
(2)∵$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$,∴-2sinθ-cosθ=0,∴$tanθ=-\frac{1}{2}$.
∴$\frac{{3-{{cos}^2}θ}}{{{{sin}^2}θ}}=\frac{{3{{sin}^2}θ+2{{cos}^2}θ}}{{{{sin}^2}θ}}=3+\frac{2}{{{{tan}^2}θ}}=11$,$tan2θ=\frac{2tanθ}{{1-{{tan}^2}θ}}=-\frac{4}{3}$.
∴$\frac{{3-{{cos}^2}θ}}{{3{{sin}^2}θ}}+3tan2θ=11-4=7$.
点评 本题考查了平面向量的数量积运算,三角函数的恒等变换与化简求值,是中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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高二 | 2 | ||
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