Question

13．已知函数f（x）=b•a^x（a＞0，a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，$\frac{1}{2}$），B（3，2）
（1）试确定f（x）的解析式；
（2）记集合E={y|y=b^x-（$\frac{1}{a}$）^x+1，x∈[-3，2]}，λ=（$\frac{1}{10}$）⁰+${8^{-\frac{2}{3}}}$+$\root{3}{{{{（-\frac{3}{4}）}^3}}}$，判断λ与E的关系．

Answer 1

分析 （1）由图象经过点A（1，$\frac{1}{2}$），B（3，2）可得ba=$\frac{1}{2}$，ba³=2，联立解方程组可得；
（2）令t=（$\frac{1}{2}$）^x，二次函数区间的最值求y=t²-t+1，t∈[$\frac{1}{4}$，8]值域可得E，再由指数的运算化简可得λ，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=b•a^x（a＞0且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，$\frac{1}{2}$），B（3，2），
∴ba=$\frac{1}{2}$，ba³=2，联立解得a=2，b=$\frac{1}{4}$，
故f（x）的解析式为f（x）=$\frac{1}{4}$•2^x=2^x-2；
（2）由（1）可得y=b^x-（$\frac{1}{a}$）^x+1=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1=[（$\frac{1}{2}$）^x]²-（$\frac{1}{2}$）^x+1，
令t=（$\frac{1}{2}$）^x，由x∈[-3，2]可得t∈[$\frac{1}{4}$，8]，故y=t²-t+1，t∈[$\frac{1}{4}$，8]，
由二次函数可知当t=$\frac{1}{2}$时，y取最小值$\frac{3}{4}$，当t=8时，y取最大值57，
故E=[$\frac{3}{4}$，57]，
化简可得λ=（$\frac{1}{10}$）⁰+${8^{-\frac{2}{3}}}$+$\root{3}{{{{（-\frac{3}{4}）}^3}}}$=1+$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$，
故λ与E关系为λ∈E．

点评 本题考查函数解析式求解方法，涉及换元法和二次函数区间的最值，属中档题．