练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0），F1（-1，0）为椭圆的左焦点，右焦点为F2，其短轴的一个端点和两个焦点构成等边三角形的三个顶点，点E（0，
    1
    2
    ）．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）AB是椭圆C的一条过点F1且斜率为1的弦，求△ABF2的面积S；
    （3）问是否存在直线l：kx+m，使l与椭圆C交于M、N两点，且（
    EM
    +
    EN
    ）•（
    EM
    -
    EN
    ）=0．若存在，求k的取值范围．若不存在，请说明理由．
    分析：（1）利用椭圆的短轴的一个端点和两个焦点构成等边三角形的三个顶点，建立方程关系，求出a，b，即可得椭圆方程．
    （2）设出AB的斜率，利用直线与椭圆联立求出△ABF2的面积S．
    （3）假设存在直线使l与椭圆C交于M、N两点，设出交点坐标，利用（
    EM
    +
    EN
    ）•（
    EM
    -
    EN
    ）=0，将直线与椭圆方程联立，利用根与系数之间的关系确定k的取值范围．
    解答：解：（1）由c=1，且a=2c得a=2，所以b2=3   …2分
    所以椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．…3分
    （2）可设AB的方程为y=x+1，…4分
    代入椭圆C的方程
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ，消去x，化简，得7y2-6y-9=0，
    ∴|y1-y2|=
    		(y1+y2)2-4y1y2
    =
    12
    		2
    7
    …6分
    ∴S=
    1
    2
    |y1-y2|×2c=
    1
    2
    ×
    12
    		2
    7
    ×2=
    12
    		2
    7
    …7分
    （3）由（
    EM
    +
    EN
    ）•（
    EM
    -
    EN
    ）=0可知以EM、EN为邻边的平行四边形对角线相互垂直．…8分
    ①根据椭圆关y轴的对称性，可知当MN⊥y轴，即k=0时，显然满足题意．…9分
    ②当k≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为H，
    由MN⊥EH，即kMN•kKH=-1，
    由
    y=kx+m
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，（③）
    由韦达定理，得x1+x2=
    -8km
    3+4k2
    ，
    x1+x2
    2
    =
    -4km
    3+4k2
    ，
    所以
    y1+y2
    2
    =k
    x1+x2
    2
    +m=k?
    -4km
    3+4k2
    +m=
    3m
    3+4k2
    ，
    所以点H坐标为(
    -4km
    3+4k2
    ，
    3m
    3+4k2
    )     …10分
    又点E（0，
    1
    2
    ），所以kKH=
    3m
    3+4k2
    +
    1
    2
    -4km
    3+4k2
    =
    2k2-3m+
    3
    2
    4km
    ，
    结合kMN•kKH=-1，得k?
    2k2-3m+
    3
    2
    4km
    =-1    ，
    化简，得m=-2k2-
    3
    2
    …11分
    对于方程③，由△＞0，得m2＜3+4k2 …12分
    所以
    m=-2k2-
    3
    2
    m2＜3+4k2
    ，得16k4+8k2-3＜0，
    ∴k∈(-
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    …且k≠013分
    ∴所以，综上由①②得k∈(-
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    …14分．
    点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，利用直线和椭圆方程联立，利用根与系数之间的关系是解决直线与圆锥曲线问题中常用的方法，运算量较大，综合性较强．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    1
    2
    ，且经过点P(1，
    3
    2
    )    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的短轴长为2
    		3
    ，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
    DA
    =λ
    DB
    ，若λ∈[
    3
    8
    ，
    1
    2
    ]，求直线AB的斜率的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）经过点A（1，
    		3
    2
    ），且离心率e=
    		3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•房山区二模）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的短轴长为2，离心率为
    		2
    2
    ，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
    AP+BQ
    PQ
    ，若直线l的斜率k≥
    		3
    ，则λ的取值范围为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案