Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l₁，l₂是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l₁交E于A，B两点，l₂交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N． 
（1）求椭圆E的方程；  
（2）求l₁的斜率k的取值范围；
（3）求证直线OM与直线ON的斜率乘积为定值（O为坐标原点）

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由离心率为

1

2

，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4可得

c a = 1 2 2a=4 a2=b2+c2

解得即可；
（2）由题意知，直线l₁的斜率存在且不为零．由l₁⊥l₂可得l₁：y=kx+2，l2：y=-

1

k

x+2．分别与椭圆的方程联立转化为一元二次方程的判别式△＞0即可得出；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），利用（2）可得x₁+x₂，利用中点坐标公式可得M，N的坐标，再利用斜率计算公式即可证明：
直线OM与直线ON的斜率乘积为定值．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由离心率为

1

2

，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4可得

c a = 1 2 2a=4 a2=b2+c2

解得

a=2 b= 3

．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由题意知，直线l₁的斜率存在且不为零．
∵l₁：y=kx+2，∴l2：y=-

1

k

x+2．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+2

消去y并化简整理，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
根据题意，△=（16k）²-16（3+4k²）＞0，解得k2＞

1

4

．
同理得(-

1

k

)2＞

1

4

，k2＜4，
∴

1

4

＜k2＜4，k∈(-2，-

1

2

)∪(

1

2

，2)．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
那么x1+x2=-

16k

3+4k2

，
∴x0=

x1+x2

2

=-

8k

3+4k2

，y0=kx0+2=

6

3+4k2

，
∴M(-

8k

3+4k2

，

6

3+4k2

)
同理得N(-

8(- 1 k )

3+4(- 1 k )2

，

6

3+4(- 1 k )2

)，即N(

8 k

3+ 4 k2

，

6

3+ 4 k2

)，
∴kOM•kON=-

3

4k

•

3k

4

=-

9

16

，
即直线OM与直线ON的斜率乘积为定值-

9

16

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程的判别式△＞0、中点坐标公式、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．