Question

17．直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y²=4x交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根据直线方程可知直线恒过定点，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，由此求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．

解答 解：抛物线C：y²=4x的准线为l：x=-1，直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（-1，0），
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，
则|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为$\frac{1}{2}$，
故点B的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）
∵P（-1，0），
∴k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
根据对称性，可得k=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
故答案为：±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，考查抛物线的定义，考查直线斜率的计算，属于中档题．