Question

如图，函数y=2sin（πx+φ），x∈R，（其中0≤φ≤

π

2

）的图象与y轴交于点（0，1）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求

PM

与

PN

的夹角．

Answer 1

分析：（1）求正弦型函数的φ值，我们可以在函数图象寻找一点的坐标（一般是最值点的坐标），代入函数的解析式，构造关于φ的三角方程，结合φ的取值范围，解方程即可得到φ的值．
（2）由（1）的结论我们不难得到函数的解析式，根据解析式，我们易得P，M，N三点坐标，及相应向量的坐标，代入向量夹角公式，即可得到两个向量的夹角．

解答：解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1）
所以2sinx=1，即sinx=

1

2

?
因为0≤l≤

π

2

所以l=

π

6

．

（Ⅱ）由函数y=2sin(πx+

π

6

)及其图象，
得M(-

1

6

，0)，P(

1

3

，2)，N(

5

6

，0)，
所以

PM

=(-

1

2

，-2，)

PN

=(

1

2

，-2)
从而cos＜

PM

，

PN

＞=

PM • PN

| PM •| PN ||

=

15

17

故＜

PM

，

PN

＞=arccos

15

17

．

点评：已知函数图象求函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．