Question

15．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），双曲线的渐近线过点A（2，$\sqrt{3}$），且双曲线过点B（4，3）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C的左右顶点分别为A₁，A₂，点P在C上且直线PA₁斜率的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，求直线PA₂的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得双曲线的渐近线方程，代入点A，再代入点B，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
（2）求得双曲线的顶点，设P（m，n），求得${k}_{P{A}_{1}}$•${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，由已知斜率，即可得到所求的斜率．

解答 解：（1）双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得2b=$\sqrt{3}$a，且$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{9}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）双曲线C的左右顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0），
设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{4}$-$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，
由${k}_{P{A}_{1}}$•${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{n}{m+2}$•$\frac{n}{m-2}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-4}$
=$\frac{3}{4}$•（m²-4）•$\frac{1}{{m}^{2}-4}$=$\frac{3}{4}$，
由${k}_{P{A}_{1}}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
即有直线PA₂的斜率的取值范围为[$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程，同时考查直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．