【题目】已知函数
，函数
，其中
.
（1）如果函数
与
在
处的切线均为
，求切线的方程及
的值；
（2）如果曲线
与
有且仅有一个公共点，求
的取值范围.
【答案】（1）
，
；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）
和
在
处的切线相同，则在该点出的导数相等，从而求解
的值，以及切线
的方程；（2）设函数
，则将原问题转化为有
有唯一解，然后对
进行分类讨论即可.
试题解析：（1）解：求导，得
.
由题意，得切线
的斜率
，即
，解得.
又切点坐标为
，所以切线
的方程为.
（2）解：设函数.
“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数
有且仅有一
个零点”. 求导，得
.
① 当
时，
由
，得
，所以
在
单调递增.
又因为
，所以有且仅有一个零点
，符合题意.
②当时，
当
变化时，
与的变化情况如下表所示：
|
|
|
|
|
| 0 |
|
| ↘ | ↗ |
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
，
故
有且仅有一个零点
，符合题意.
③ 当
时，
令
，解得
.
当
变化时，
与
的变化情况如下表所示：
|
|
|
|
| - | 0 |
|
| ↘ | ↗ |
所以在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
.
因为
，且在上单调递增，
所以
.
又因为存在
，
所以存在
使得
，
所以函数存在两个零点
，
，与题意不符.
综上，曲线与有且仅有一个公共点时，
的范围是.
科学实验活动册系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系中，
两点的坐标分别为
，动点
满足：直线
与直线
的斜率之积为
.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点
作两条互相垂直的射线，与（1）的轨迹分别交于
两点，求
面积的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】以边长为4的等比三角形
的顶点
以及
边的中点
为左、右焦点的椭圆过
两点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点
且
轴不垂直的直线
交椭圆于
两点，求证直线
与
的交点在一条直线上.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆C:
的离心率为
，点
在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线
与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与相交两点
，
（两点均不在坐标轴上），且使得直线
，
的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角梯形PBCD中，
，
，
，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且
，如图．
（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
.
（1）求椭圆
的方程式；
（2）已知动直线
与椭圆相交于
两点.
①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；
②已知点
，求证：
为定值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）当
时，
恒成立，求a的取值范围.(其中，e=2.718…为自然对数的底数).
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
，
其中
，若函数
，且它的最小正周期为
．
（普通中学只做1，2问）
（1）求
的值，并求出函数
的单调递增区间；
（2）当
（其中
）时，记函数
的最大值与最小值分
别为
与
，设
，求函数
的解
析式；
（3）在第（2）问的前提下，已知函数
， 
，若对于任意
， 
，总存在
，使得
成立，求实数t的取值范围.
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