Question

【题目】以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为 （t为参数，0＜φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线l的参数方程为 消去参数可得：xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；

即直线l的普通方程为xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0；

曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．可得：ρ2cos2θ=8ρsinθ．

那么：x2=8y．

∴曲线C的直角坐标方程为x2=8y

（2）解：直线l的参数方程带入C的直角坐标方程，可得：t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0；

设A，B两点对应的参数为t1，t2，

则 ， ．

∴|AB|=|t1﹣t2|= = ．

当φ= 时，|AB|取得最小值为8

【解析】（1）直接消去直线l的参数可得普通方程；根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 进行代换即得曲线C的直角坐标方程．（2）将直线l的参数方程带入C的直角坐标方程；设出A，B两点的参数，利用韦达定理建立关系求解最值即可．