【题目】如图,正方形和梯形所在的平面互相垂直,,,与交于点,,分别为线段,的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)若,求证:平面平面.
【答案】详见解析
【解析】
(Ⅰ)推导出AC⊥BD,从而AC⊥平面BDEF,由此能证明AC⊥BF;
(Ⅱ)法一:取AD中点M,连接ME,MG,则GM∥BD且,从而GM∥EF且GM=EF,进而四边形GMEF为平行四边形,从而GF∥ME,由此能证明GF∥平面ADE;
法二:连接OF,OG,推导出四边形DOFE为平行四边形,从而OF∥DE,进而OF∥平面ADE,由O,G分别为BD,AB的中点,得OG∥AD,从而OG∥平面ADE,进而平面GOF∥平面ADE,由此能证明GF∥平面ADE;
(Ⅲ)连接OH,则OH∥DF,由DF⊥BF,得OH⊥BF,再由BF⊥AC,得BF⊥平面AHC,由此能证明平面AHC⊥平面BGF.
解:(Ⅰ)因为为正方形,所以.又因为平面平面,
平面平面,
所以平面.又因为平面,
所以.
(Ⅱ)方法一:取中点,连接,,
在中,,分别为,的中点,
所以且.又因为且,
所以且.所以四边形为平行四边形.
所以.因为平面,
平面,所以平面.
方法二:连接,,
因为且,
所以且.
所以四边形为平行四边形.所以.
因为平面,
平面,
所以平面.因为,分别为,的中点,
所以.又因为平面,平面,
所以平面.因为,
所以平面平面.因为平面,
所以平面.
(Ⅲ)连接,
在中,,分别为,的中点,
所以.因为,
所以.因为,
,
平面,平面,
所以平面.因为平面,
所以平面 平面.
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【题目】已知椭圆: 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线: 与椭圆有且只有一个公共点.
(Ⅰ)求椭圆的方程及点的坐标;
(Ⅱ)设是坐标原点,直线平行于,与椭圆交于不同的两点、,且与直线交于点,证明:存在常数,使得,并求的值.
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【题目】部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形,一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义.如图,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于-种分形,具体作法是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形.
若在图④中随机选取-点,则此点取自阴影部分的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】已知数列,则“存在常数,对任意的,且,都有”是“数列 为等差数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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【题目】2018年1月22日,依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定,中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”.
下表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额(单位:万元)
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
线下销售额 | 90 | 170 | 210 | 280 | 340 |
为了解“祝福观音、永保平安”活动的支持度.某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查(每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种),其中很支持的老年市民有30人,支持的年轻市民有15人.
(1)从以上5年中任选2年,求其销售额均超过200万元的概率;
(2)请根据以上信息列出列联表,并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关.
附:,其中
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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