Question

（文）设数列{a_n}的通项公式为a n=pn+q(n∈N*，p＞0)．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=

1

2

，q=-

1

3

，求b₃；
（Ⅱ）（文）若p=2，q=-1，求数列{b_m}的前2m项和公式；
（Ⅲ）（文）若p=

1

3

，是否存在q，使得b m=3m+2(m∈N*)？如果存在，求q的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a_n=

1

2

n-

1

3

，由

1

2

n-

1

3

≥3，先求出n≥

20

3

．再由

1

2

n-

1

3

≥3成立的所有n中的最小整数为7，能求出b₃．
（Ⅱ）（文）由题意，得a_n=2n-1，对于正整数，由a_n≥m，得n≥

m+1

2

．根据b_m的定义知：当m=2k-1时，b m=k(k∈N*)，由此能求出数列{b_m}的前2m项和公式．
（Ⅲ）（文）假设存在q满足条件，由不等式

1

3

n+q≥m，得n≥3（m-q），由此利用题设条件能推导出存在q，使得b m=3m+2(m∈N*)和q的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的通项公式为a n=pn+q(n∈N*，p＞0)．
数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
p=

1

2

，q=-

1

3

，
∴a_n=

1

2

n-

1

3

，解

1

2

n-

1

3

≥3，得n≥

20

3

．…（2分）
∴

1

2

n-

1

3

≥3成立的所有n中的最小整数为7，即b₃=7．…（4分）
（Ⅱ）（文）∵p=2，q=-1，∴a_n=2n-1，
对于正整数，由a_n≥m，得n≥

m+1

2

．
根据b_m的定义可知：当m=2k-1时，b m=k(k∈N*)；…（6分）
当m=2k时，b m=k+1(k∈N*)．…（8分）
∴b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+..b_2m-1）+（b₂+b₄+..+b_2m）
=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]
=

m(m+1)

2

+

m(m+3)

2

=m2+2m．…（12分）
（Ⅲ）（文）假设存在q满足条件，由不等式

1

3

n+q≥m，得n≥3（m-q）…（14分）
∵b m=3m+2(m∈N*)，
∴根据b_m的定义可知，对于任意的正整数m 都有3m+1＜3（m-q）≤3m+2，…（16分）
解得-

2

3

≤q＜-

1

3

．…（18分）
∴存在q，使得b m=3m+2(m∈N*)；
q的取值范围是-

2

3

≤q＜-

1

3

．

点评：本题考查数列的前n项和公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．