Question

10．已知A、B分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的左右两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设C、D是椭圆上的两点，OC⊥OD，求三角形OCD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得B的坐标，然后得到椭圆左焦点的坐标，再利用椭圆定义求出2a，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）分CD所在直线斜率不存在和存在两种情况讨论，斜率不存在时求得三角形OCD面积，斜率存在时，设出直线方程y=kx+n，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系结合OC⊥OD得到k与n的关系，由弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式求出原点O到直线l的距离，代入三角形面积公式，配方法利用函数单调性得到三角形OCD面积的范围得答案．

解答 解：（1）如图，P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
由题意可得：B（1，0），即c=1．
∴A（-1，0），则2a=|PA|+|PB|=$\sqrt{（-1+1）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}-0）^{2}}+\sqrt{（-1-1）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}-0）^{2}}$=$2\sqrt{2}$．
∴a²=2，b²=a²-c²=1．
则椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）当CD所在直线斜率不存在时，设直线方程为x=m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得C（m，$-\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{2}}$），D（m，$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{2}}$）．
由OC⊥OD，得${m}^{2}-（1-\frac{{m}^{2}}{2}）=0$，解得m=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$．
不妨取m=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则|CD|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴${S}_{△OCD}=\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2}{3}$；
当CD所在直线斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+n．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0．
△=16k²n²-4（1+2k²）（2n²-2）=16k²-8n²+8．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+n）（kx₂+n）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+kn（{x}_{1}+{x}_{2}）+{n}^{2}$
=${k}^{2}•\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+kn•（-\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}）+{n}^{2}$=$\frac{{n}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∵OC⊥OD，∴${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+\frac{{n}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3{n}^{2}-2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=0$．
∴3n²-2-2k²=0．
|CD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（-\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8{n}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2{k}^{2}-{n}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$．
把3n²-2-2k²=0代入得：|CD|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}\frac{\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+4{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$．
原点O到直线l的距离d=$\frac{|n|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴${S}_{△OCD}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}\sqrt{\frac{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{（2{k}^{2}+1）^{2}+\frac{1}{2}（2{k}^{2}+1）-\frac{1}{2}}{2{k}^{2}+1}}$
=$\frac{2}{3}\sqrt{（2{k}^{2}+1）-\frac{1}{2（2{k}^{2}+1）}+\frac{1}{2}}$．
∵1+2k²＞1，∴$\sqrt{（2{k}^{2}+1）-\frac{1}{2{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}}＞1$．
则${S}_{△OCD}＞\frac{2}{3}$．
综上，三角形OCD面积的最小值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查利用椭圆定义求椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，体现了分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．