Question

15．如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°．
（1）求侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值的大小；
（2）已知点D满足$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，在直线AA₁上是否存在点P，使DP∥平面AB₁C？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出A₁O⊥平面ABC，BO⊥AC，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值．
（2）假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z），则$\overrightarrow{DP}=（\sqrt{3}，y，z）$．利用向量法能求出存在点P，使DP∥平面AB₁C，其坐标为（0，0，$\sqrt{3}$），即恰好为A₁点．

解答 解：（1）∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于点O，
∴A₁O⊥平面ABC．
又∠ABC=∠A₁AC=60°，且各棱长都相等，
∴AO=1，OA₁=OB=$\sqrt{3}$，BO⊥AC．…（2分）
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0）．…（4分）
设平面AB₁C的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}x+2y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）．
设侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{A}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．…（6分）
（2）∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$，而$\overrightarrow{BA}=（-\sqrt{3}，-1，0）$，$\overrightarrow{BC}=（-\sqrt{3}，1，0）$，
∴$\overrightarrow{BD}$=（-2$\sqrt{3}$，0，0），又∵B（$\sqrt{3}，0，0$），∴点D（-$\sqrt{3}$，0，0）．
假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z），∴$\overrightarrow{DP}=（\sqrt{3}，y，z）$．
∵DP∥平面AB₁C，$\overrightarrow{n}$=（-1，0，1）为平面AB₁C的法向量，
∴由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，得$\left\{\begin{array}{l}{y+1=λ}\\{\sqrt{3}=λ\sqrt{3}}\end{array}\right.$，∴y=0．…（10分）
又DP?平面AB₁C，故存在点P，使DP∥平面AB₁C，其坐标为（0，0，$\sqrt{3}$），
即恰好为A₁点．…（12分）

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．