分析:以D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示:
(1)设正方体棱长为2.则E(0,1,2),A(2,0,0).可得
,平面
的法向量为
=(0,1,0).设AE与平面BCC
1B
1所成的角为θ.
sinθ=|cos<,>|=
.
(2)A(1,0,0),B(1,1,0),C
1(0,1,1),可得
,
,
,设平面
的法向量为
=(x,y,z),则
,即可得到
,取平面ADB的法向量为
=(0,0,1).设二面角C
1-DB-A的大小为α,从图中可知:α为钝角.可得
cos<,>,进而得到cosα.
解答:解:以D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示:
(1)设正方体棱长为2.则E(0,1,2),A(2,0,0).
=(-2,1,2),平面
的法向量为
=(0,1,0).
设AE与平面BCC
1B
1所成的角为θ.
sinθ=|cos<,>|=
=
=
.
∴sinθ=
.
(2)A(1,0,0),B(1,1,0),C
1(0,1,1),
∴
=(1,0,0),
=(1,1,0),
=(0,1,1).
设平面
的法向量为
=(x,y,z),则
,
令y=-1,则x=1,z=1.∴
=(1,-1,1).取平面ADB的法向量为
=(0,0,1).
设二面角C
1-DB-A的大小为α,从图中可知:α为钝角.
∵
cos<,>=
=
=
,
∴
cosα=-.
点评:熟练掌握通过建立空间直角坐标系,利用平面的法向量、数量积、向量夹角公式求出二面角、线面角等是解题的关键.