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已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,E分别是棱C1D1的中点,试求:
(1)AE与平面BB1C1C所成的角的正弦值;
(2)二面角C1-DB-A的余弦值.
分析:以D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示:
(1)设正方体棱长为2.则E(0,1,2),A(2,0,0).可得
AE
,平面
BCC1B1
的法向量为
n
=(0,1,0)
.设AE与平面BCC1B1所成的角为θ.sinθ=|cos<
AE
n
>|
=
|
AE
n
|
|
AE
| |
n
|

(2)A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),可得
DA
DB
DC1
,设平面
DBC1
的法向量为
n1
=(x,y,z),则
n1
DB
=x+y=0
n1
DC1
=y+z=0
,即可得到
n1
,取平面ADB的法向量为
n2
=(0,0,1)
.设二面角C1-DB-A的大小为α,从图中可知:α为钝角.可得cos<
n1
n2
,进而得到cosα.
解答:解:以D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示:
(1)设正方体棱长为2.则E(0,1,2),A(2,0,0).
AE
=(-2,1,2)
,平面
BCC1B1
的法向量为
n
=(0,1,0)

设AE与平面BCC1B1所成的角为θ.sinθ=|cos<
AE
n
>|
=
|
AE
n
|
|
AE
| |
n
|
=
1
9
=
1
3

∴sinθ=
1
3

(2)A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),
DA
=(1,0,0)
DB
=(1,1,0)
DC1
=(0,1,1)

设平面
DBC1
的法向量为
n1
=(x,y,z),则
n1
DB
=x+y=0
n1
DC1
=y+z=0

令y=-1,则x=1,z=1.∴
n1
=(1,-1,1).取平面ADB的法向量为
n2
=(0,0,1)

设二面角C1-DB-A的大小为α,从图中可知:α为钝角.
cos<
n1
n2
=
n1
n2
|
n1
| |
n2
|
=
1
3
=
3
3

cosα=-
3
3
点评:熟练掌握通过建立空间直角坐标系,利用平面的法向量、数量积、向量夹角公式求出二面角、线面角等是解题的关键.
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