Question

锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且tanA=

3 bc

b2+c2-a2

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=

3

，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式变形后，利用余弦定理化简，求出sinA的值，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把a与cosA的值代入并利用基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边关系即可确定出满足题意b的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

，即b²+c²-a²=2bccosA，且tanA=

3 bc

b2+c2-a2

，
∴

sinA

cosA

=

3

2cosA

，即sinA=

3

2

，
∵A为锐角，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-

3(b+c)2

4

=

(b+c)2

4

，
即（b+c）²≤12，
解得：-2

3

≤b+c≤2

3

，
∵b+c＞a=

3

，
∴b+c的范围为

3

＜b+c≤2

3

．

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．