Question

设函数fn(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…-

x2n-1

2n-1

(n∈N*)．
（Ⅰ）研究函数f₂（x）的单调性；
（Ⅱ）判断f_n（x）=0的实数解的个数，并加以证明．

Answer 1

分析：（I）写出要用的函数，对于函数求导，导函数是一个二次函数，配方整理看出导函数一定小于0，得到函数的单调性．
（II）首先验证当n=1时，只有一个解，在验证n大于等于2时的情况，求出导数，根据导数的正负看出函数的单调性，看出交点的个数．

解答：解：（Ⅰ）f2(x)=1-x+

1

2

x2-

1

3

x3，f₂^′（x）=-1+x-x²=-(x-

1

2

)2-

3

4

＜0，
所以f₂（x）在R单调递减．
（Ⅱ）f₁（x）=1-x有唯一实数解x=1
由fn(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…-

x2n-1

2n-1

，n∈N*，
得f_n^′（x）=-1+x-x²+…+x^2n-3-x^2n-2．
（1）若x=-1，则f_n^′（x）=-（2n-1）＜0．
（2）若x=0，则f_n^′（x）=-1＜0．
（3）若x≠-1，且x≠0时，则fn′(x)= -

x2n-1+1

x+1

．
①当x＜-1时，＜0，x^2n-1+1＜0，f_n^′（x）＜0．
②当x＞-1时，f_n^′（x）＜0
综合（1），（2），（3），得f_n^′（x）＜0，
即f_n（x）在R单调递减．
又f_n（x）=1＞0，fn(2)=(1-2)+(

22

2

-

23

3

)+(

24

4

-

25

5

)+…+(

22n-2

2n-2

-

22n-1

2n-1

)
=-1+(

1

2

-

2

3

)22+(

1

4

-

2

5

)24+…+(

1

2n-2

-

2

2n-1

)22n-2
=-1-

1

2•3

22-

3

4•5

24-…-

2n-3

(2n-2)(2n-1)

22n-2＜0，
所以f_n（x）在（0，2）有唯一实数解，从而f_n（x）在R有唯一实数解．
综上，f_n（x）=0有唯一实数解．

点评：本题考查函数与方程的关系和导数的应用，本题解题的关键是可以导数看出函数的单调性，根据单调性确定函数与横轴的交点个数．