Question

数列{a_n}是首项为a₁，公差为d的等差数列，若数列{a_n}中任意不同的两项之和仍是该数列的一项，则称该数列是“封闭数列”
（1）试写出一个不是“封闭数列”的等差数列的通项公式，并说明理由；
（2）求证：数列{a_n}为“封闭数列”的充分必要条件是存在整数m≥-1，使a₁=md．

Answer 1

解（1）如数列a_n=2n-7（n∈N^*）不是“封闭数列”，---（1分）
∵a₁=-5，a₂=-3，∴a₁+a₂=-8，-------------------（2分）
依题，?n∈N^*，使a_n=-8--------------（3分）
即，--------------（4分）
这与n∈N^*矛盾
所以数列a_n=2n-7（n∈N^*）不是封闭数列；--------------（5分）
（2）证明：（充分性）若存在整数m≥-1，使a₁=md，则任取等差数列的两项a_s，a_t（s≠t），
于是a_s+a_t=a₁+（s-1）d+md+（t-1）d=a₁+（s+m+t-2）d=a_s+m+t-1--------（2分）
由于s+t≥3，m≥-1，∴s+t+m-1∈N^*为正整数，-------------------（3分）
∴a_s+m+t-1∈{a_n}，∴{a_n}是封闭数列------（4分）
（必要性）任取等差数列的两项a_s，a_t（s≠t），若存在a_k使a_s+a_t=a_k，
则2a₁+（s+t-2）d=a₁+（k-1）d?a₁=（k-s-t+1）d--------------------（6分）
故存在m=k-s-t+1∈Z，使a₁=md，--------------------（7分）
下面证明m≥-1．
当d=0时，显然成立．--------------------（8分）
对d≠0，若m＜-1，则取p=-m≥2，对不同的两项a₁和a_p，存在a_q使a₁+a_p=a_q，
即2md+（-m-1）d=md+（q-1）d?qd=0，这与q＞0，d≠0矛盾，
故存在整数m≥-1，使a₁=md．--------------------------（9分）
分析：（1）写出一个数列不是封闭数列的等差数列的通项公式，要利用条件中所给的任意不同的两项之和仍是该数列的一项进行验证，得到与事实矛盾的结果．
（2）要证明充分必要条件的问题，本题需要从两个方面来证明，一是证明充分性，二是证明必要性，证明时注意所取得数列的项来验证时，项要具有一般性．
点评：本题考查一个新定义的问题，本题解题的关键是理解所定义的封闭数列具有的性质，注意这个性质的应用和等差数列本身性质的应用，本题是一个中档题目．